上図のような平行四辺形ABCDの辺CDをCE:ED=1:3 に内分するような点E、辺DA上にDA:DF=3:2 となるような点Fがある。このとき平行四辺形ABCDと△EDFの面積の比を求めよ。
このような問題を解くとき、以前投稿した記事「三角形の一部分の面積を求める。（三角形の面積/相似）」の解き方と似た方法が使えます。
まず平行四辺形の対角線ACを引いて、△CDAについて考えます。
平行四辺形を対角線で2つに分割すると面積は二等分されるので、平行四辺形ABCDと△CDAの面積比は2:1になります。 …①
次に△CDAと△EDFを比較します。三角形の面積は底辺の長さと高さで決まるのでこの2つについて考えます。
辺DA、DFを底辺とすると、底辺の長さの比は問題よりDA:DF=3:2 です。 …②
高さはこの時点では不明ですが、CE:ED=1:3 を利用します。
点C、Eから辺DAに対して垂線を引きそれぞれの交点を点G、Hとします。
このときの△DCGと△DEHについて考えます。
共通の角なので∠CDG=∠EDH
∠CGD=∠EHD=90°
よって、直角三角形の鋭角の1組が等しいので、△DCGと△DEHは相似です。
相似比はCE:ED=1:3 より
CD:ED=CE+ED:ED=1+3:3=4:3
となり、同様に
CG:EH=4:3
が成り立ちます。
△CDAにおいてのCGと△EDFにおいてのEHは高さなので、高さの比は4:3となります。 …③
①より、
②より、
③より、
となるので、△CDAと△EDFの面積の関係は
となります。△CDAは平行四辺形ABCDの面積の半分なので
となり、このことから平行四辺形ABCDと△EDFの面積の比は4:1と求めることができます。
