【数学】直交する弦の長さから円の半径を求める（円/三平方の定理）

　下の図のように円の中心を通らない直交する2本の弦の各部分の長さのみがわかっているとき、円の半径を求めるにはどうすればよいでしょうか?

弦を交点で分けた線分の長さをそれぞれa, b, c, dとします。

　まずは、円の中心Oから、点Aに線を引きます。そして、中心Oから各弦に垂線を引きます。弦と垂線の交点をQ, Rとします。

中心Oから引いた垂線は弦を二等分するので、

となります。

　△OAQは、半径OAを斜辺とする直角三角形です。AQの長さは上記の通りで、QO = PRより

となります。

三平方の定理より

と、弦の長さから円の半径を求める式を導くことができました。

　これで本当に半径を求められるかを確認してみます。

a=3, b=4, c=2, d=6の直交する2本の線分について考えてみます。

円が描かれていないので、まずはこの2本の線分がどちらも1つの円の弦であるかを確認します。

それぞれの線分について、端から交点までの長さ同士の積を求めると

という関係が成り立ち、方べきの定理が成立するのでこれらの線分は1つの円の弦であることが確認できました。

　円の中心の位置は、2つの線分それぞれから引いた垂直二等分線の交点にあります。そこから線分の1つの端に線を引くと

上図のようになります。この線が半径であり、長さをrとしておきます。

すでに直角三角形が見えているので、斜辺以外の辺の長さを求めます。

短辺の長さは、

長辺の長さは、

となります。三平方の定理より

と、このように半径を求めることができました。図にしてみると以下のようになります。